Question

设椭圆C₁的中心在原点，其右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，过点F与x轴垂直的直线与C₁交与A、B两点，与C₂交于C、D两点，已知
（1）求椭圆C₁的方程
（2）过点F的直线l与C₁交与M、N两点，与C₂交与P、Q两点，若，求直线l的方程．

Answer

（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F（1，0），设椭圆C1的方程：（a＞b＞0），解方程组，得C（1，2），D（1，-2），由于C1，C2都关于x轴对称，故，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）设l：x=ty+1，解方程组，消元得：y2-4ty-4=0，故△=16t2+16＞0，=4（t2+1）．解方程组，得（3t2+4）y2+6ty-9=0，故△=36t2+36（3t2+4）＞0，=，由此能求出直线l的方程．
【解析】
（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F（1，0），
设椭圆C1的方程：（a＞b＞0），
解方程组，得C（1，2），D（1，-2），
由于C1，C2都关于x轴对称，
∴，
∴，
∴，∴，
∵a2-b2=c2=1，
∴，解得b2=3，
∴a2=4，∴椭圆C1的方程为：．
（2）设l：x=ty+1，解方程组，消元得：y2-4ty-4=0，
∴△=16t2+16＞0，
∴=4（t2+1），
再解方程组，得（3t2+4）y2+6ty-9=0，
∴△=36t2+36（3t2+4）＞0，
∴=，
由，即，
解得t=，
故直线l的方程为：或．