Question

设{a_n}{b_n}是两个数列，点为直角坐标平面上的点．
（Ⅰ）对n∈N^*，若三点M，A_n，B_n共线，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：，其中{c_n}是第三项为8，公比为4的等比数列．求证：点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线上，并求出此直线的方程．

Answer

（Ⅰ）利用对n∈N*，若三点M，An，Bn共线，写出斜率关系，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）通过{cn}是第三项为8，公比为4的等比数列，求出cn，利用，推出a1b1+a2b2+…anbn=n（n+1）（2n-3），然后利用斜率证明点列P1（1，b1），P2（2，b2），…Pn（n，bn）在同一条直线上，并求出此直线的方程．
【解析】
（Ⅰ）因三点M，An，Bn共线，
∴
得an=2+2（n-1）故数列{an}的通项公式为 an=2n…（6分）
（Ⅱ）由题意，

由题意得 ，
∴
∴，
∴a1b1+a2b2+…anbn=n（n+1）（2n-3）
当n≥2时，anbn=n（n+1）（2n-3）-（n-1）n（2n-5）=n（6n-8）
∵an=2n∴bn=3n-4．当n=1时，b1=-1，也适合上式，
∴bn=3n-4（n∈N*）
因为两点P1、Pn的斜率（n∈N*）为常数
所以点列P1（1，b1），P2（2，b2），…，Pn（n，bn）在同一条直线上，
且方程为：y-b1=3（x-1），即3x-y-4=0．…（14分）