Question

已知双曲线的两个焦点分别为F₁、F₂，则满足△PF₁F₂的周长为的动点P的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据已知双曲线方程，运用公式可得它的两个焦点分别为F1（0，-）、F2（0，）．再根据△PF1F2的周长为，结合椭圆的定义得到点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，因为三角形三顶点不能共线，所以上、下顶点除外．由椭圆的定义求得椭圆的长半轴、短半轴分别为3和2．因此可得椭圆的标准方程，得到正确选项．
【解析】
∵双曲线的方程为，
∴a2=2，b2=3，可得c2=a2+b2=5，c=
因此双曲线的两个焦点分别为F1（0，-）、F2（0，），
∵△PF1F2的周长为，F1F2=
∴PF1+PF2=6，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，（上下顶点除外）
由椭圆的定义得，椭圆长轴为6，长半轴为3．
所以该椭圆的短半轴为：=2
∴点P的轨迹方程为
故选C