Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°．
（Ⅰ）求棱柱的高；
（Ⅱ）求B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角的大小．

Answer

（Ⅰ）由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱可知，AA1即为其高．∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或其补角．要判断出△A1BC为正三角形，再在在Rt△A1AB中求解．
（Ⅱ）连接B1A，设B1A∩BA1=E，判断出∠B1C1E就是B1C1与平面A1BC1所成的角，在Rt△B1EC1中求解即可．
【解析】
（Ⅰ）由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱可知，AA1即为其高．
如图，因为BC∥B1C1，所以∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或其补角．
连接A1C，因为AB=AC，所以．
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，∠BAC=90°，可得．（3分）
又异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，所以∠A1BC=60°，即△A1BC为正三角形．
于是．
在Rt△A1AB中，由，得AA1=1，即棱柱的高为1．（3分）
（Ⅱ）连接B1A，设B1A∩BA1=E，由（Ⅰ）知，B1A1=AA1=1，
所以矩形BAA1B1是正方形，所以B1E⊥A1B．（2分）
又由AC1⊥A1B1BA，得 A1C1⊥B1E，于是得B1E⊥平面A1BC1．
故∠B1C1E就是B1C1与平面A1BC1所成的角．（2分）
在Rt△A1B1C1中，由A1B1=A1C1=1，∠B1A1C1=90°，
可得．
在Rt△B1EC1中，由，，
得，故∠B1C1E=30°．
因此B1C1与平面A1BC1所成的角30°．                                 （3分）