Question

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）在D上的“k阶增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，x＞0时，f（x）=|x-a|-a，其中a为正常数，若f（x）为R上的“2阶增函数”，
则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（0，1）
C．（0，）
D．（0，）

Answer

由题意可以得到，再由定义存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k阶增函数”．对所给的问题分自变量全为正，全为负，一正一负三类讨论，求出参数所满足的共同范围即可．
【解析】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
且当x＞0时，f（x）=|x-a|-a，
∴，
又f（x）为R上的“2阶增函数”，
当x＞0时，由定义有|x+2-a|-a＞|x-a|-a，
即|x+2-a|＞|x-a|，其几何意义为到点a小于到点a-2的距离，
由于x＞0故可知a+a-2＜0得a＜1．
当x＜0时，分两类研究：
①若x+2＜0，则有-|x+2+a|+a＞-|x+a|+a，
即|x+a|＞|x+2+a|，其几何意义表示到点-a的距离小于到点-a-2的距离，
由于x＜0，故可得-a-a-2＞0，得a＜-1；
②若x+2＞0，则有|x+2-a|-a＞-|x+a|+a，
即|x+a|+|x+2-a|＞2a，其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2的距离的和大于2a，
当a≤0时，显然成立，
当a＞0时，由于|x+a|+|x+2-a|≥|-a-a+2|=|2a-2|，
故有|2a-2|＞2a，必有2-2a＞2a，解得，
综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是a＜．
故选C．