Question

过直线y=-m（m为大于0的常数）上一动点Q作x轴的垂线，与抛物线C：y=x²相交于点P，抛物线上两点A、B满足
（1）求证：直线AB与抛物线C在点P处的切线平行，且直线AB恒过定点；
（2）是否存在实数m，使得点Q在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）设直线AB：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，-m），P（x，x2），，，，由，得（*）．联立直线AB和抛物线C方程，得x2-kx-b=0，由此入手能够证明直线AB恒过定点（0，m）．
（2）由=，=．知，由此能够导出存在实数，使得Q点在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB．
（1）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵Q（x，-m），P（x，x2），
∴，，，
由，得
（*）
联立直线AB和抛物线C方程：
，得x2-kx-b=0，
∴x1+x2=k，x1x2=-b，
y1+y2=k（x1+x2）+2b=k2+2b，y1y2=（x1x2）2=b2，
代入（*）式，可得，
∵y′=2x，
∴抛物线C在点P处的切线斜率为2x=k，
故直线AB与抛物线C在点P处的切线平行．
∵直线AB：y=kx+m，且m为常数，
∴直线AB恒过定点（0，m）．
（2）【解析】
∵=，
=．
∴，
∴当时，恒有．
故存在实数，使得Q点在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB．