Question

已知函数f（x）=2x-1（x∈R）．规定：给定一个实数x，赋值x₁=f（x），若x₁≤257，则继续赋值x₂=f（x₁）；若x₂≤257，则继续赋值x₃=f（x₂）；…，以此类推．若x_n-1≤257，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值．已知赋值k（k∈N^*）次后该过程停止，则x的取值范围是（ ）
A．（2^7-k+1，2^8-k+1]
B．（2^8-k+1，2^9-k+1]
C．（2^9-k+1，2^10-k+1]
D．（2^8-k，2^9-k]

Answer

由题意，可先解出x1，x2，x3，从中发现规律，猜想出xk=f（xk-1）=2xk-1-1=2kx-2k-1-…-22-2-1=2kx-=2kx-2k+1，再由题设条件xn-1≤257，则xn=f（xn-1），否则停止赋值，可得到2kx-2k+1＞257，且2k-1x-2k-1+1≤257，解此二不等式即可得到x的取值范围选出正确选项．
【解析】
由题意x1=f（x）=2x-1；
x2=f（x1）=2x1-1=2（2x-1）-1=22x-2-1；
x3=f（x2）=2x2-1=2（22x-2-1）-1=23x-22-2-1；
…，
xk=f（xk-1）=2xk-1-1=2kx-2k-1-…-22-2-1=2kx-=2kx-2k+1；
令2kx-2k+1＞257，且2k-1x-2k-1+1≤257，
解得28-k+1＜x≤29-k+1
故x的取值范围是（28-k+1，29-k+1]
故选B