Question

已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M=（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l平行于OM，且与椭圆交于A、B两个不同点．
（ⅰ）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．

Answer

（Ⅰ）设椭圆方程为，利用长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1），可建立几何量之间的关系，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）先假设l的方程为，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k1，k2，证明k1+k2=0，即可得到直线MA、MB的倾斜角互补，从而可知直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
（Ⅰ）【解析】
设椭圆方程为，则
∵长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1）．
∴   （2分）
解得，故椭圆的方程为．（2分）
（Ⅱ）【解析】
（ⅰ）由直线l平行于OM，得直线l的斜率，
又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为．
由得x2+2mx+2m2-4=0．
又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，于是-2＜m＜2．（3分）
∠AOB为钝角等价于且m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），=，
由韦达定理x1+x2=-2m，代入上式，
化简整理得m2＜2，即，故所求范围是．（2分）
（ⅱ）证明：依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k1，k2．
由，．（2分）
而==．
所以k1+k2=0，故直线MA、MB的倾斜角互补，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．                   （3分）