Question

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=2a_n²+2a_n，其中n为正整数．
（1）设b_n=2a_n+1，证明：数列{b_n}是“平方递推数列”，且数列{lgb_n}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{b_n}的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式；
（3）记c_n=，求数列{c_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2008的n的最小值．

Answer

（1）依据“平方递推数列”定义，结合条件an+1=2an2+2an，可证数列{bn}是“平方递推数列”，进而有lgbn+1=2lgbn．从而可证数列{lgbn}为等比数列；
（2）由（1）可得an=（52n-1-1），对Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1）两边取对数，可求得Tn=52n-1．
（3）cn=2-，Sn=2n-2+2．要使Sn＞2008，则有n+＞1005，从而可求n的最小值．
【解析】
（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．
∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴=2．
∴{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1⋅lg5，∴2an+1=，∴an=（-1）．
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）==（2n-1）lg5．
∴Tn=52n-1．
（3）cn====2-，
∴Sn=2n-[1++++]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2．
由Sn＞2008得2n-2+2＞2008，n+＞1005，
当n≤1004时，n+＜1005，当n≥1005时，n+＞1005，∴n的最小值为1005．