Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求直线B₁C₁到平面A₁BC的距离．

Answer

（1）由题意可得：∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°，根据线段的长度关系可得：△A1BC为等边三角形，即可得到，进而达到a=1．
（2）由B1C1∥平面A1BC，得点D到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离．再根据求B1到平面A1BC的距离，分别求出两个三角形的面积即可达到答案．
【解析】
（1）∵BC∥B1C1，
∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即∠A1BC=60°，…（2分）
又连接A1C，AB=AC，
则A1B=A1C，
∴△A1BC为等边三角形，…（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°
∴，
∴．…（6分）
（2）易知B1C1∥平面A1BC，又D是B1C1上的任意一点，
所以点D到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离．…（8分）
设其为d，连接B1C，
由求d，
又∵CA⊥A1A，CA⊥AB，
∴CA⊥平面A1B1C，并且AC=1，．
因为△A1B1B的面积，并且△A1BC的面积，…（10分）
所以，
所以B1C1到平面A1BC的距离等于．…（12分）