Question

一青蛙从点A（x，y）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如图所示，A（x，y）坐标以已知条件为准），S_n表示青蛙从点A到点A_n所经过的路程．
（1）若点A（x，y）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，点A₁，A₂均在该抛物线上，并且直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，证明S₂=3p．
（2）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x²所表示的曲线上，并且，试写出（不需证明）；
（3）若点A_n（x_n，y_n）要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且A（0，4），求S_n的表达式．

Answer

（1）由于点A（x，y）为抛物线y2=2px（p＞0）准线上一点，可知A（-），由于青蛙依次向右向上跳动，直线A1A2经过该抛物线的焦点，所以A1（），A2（），由抛物线定义可证；
（2）根据题意可得x2n+1=），由于青蛙从点A（x，y）开始依次水平向右和竖直向上跳动，所以可知随着n的增大，点An无限接近点（1，1），进而可得横向路程之和无限接近1-，纵向路程之和无限接近1-，故问题得解；
（3）由题意知A1（1，22），A2（1，24），A3（3，24），A4（3，26），A5（6，26），A6（6，28），…
其中A1（1，22），A3（3，24），A5（6，26），A7（10，28），…A2（1，24），A4（3，26），A6（6，28），A8（10，210）…观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为22，公比为4的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．再分类求和即可．
【解析】
（1）设A（-），由于青蛙依次向右向上跳动，
所以A1（），A2（），由抛物线定义知：S2=3p…4分
（2）依题意，x2n+1=）|+…=（x1-x）+（y2-y1）+（x3-x2）+（y4-y3）+（x5-x4）+…+（x2n-1-x2n）+（y2n-y2n-1）+…=2（x1-x）+2（x3-x2）+2（x5-x4）+…+2（x2n-1-x2n）+…
随着n的增大，点An无限接近点（1，1）…6分
横向路程之和无限接近1-，纵向路程之和无限接近1-…8分
所以 ==1…10分
（3）由题意知A1（1，22），A2（1，24），A3（3，24），A4（3，26），A5（6，26），A6（6，28），…
其中A1（1，22），A3（3，24），A5（6，26），A7（10，28），…A2（1，24），A4（3，26），A6（6，28），A8（10，210）…
观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为22，公比为4的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．12分
所以，当n为偶数时，xn=
当n为奇数时，xn=
当n为偶数时，Sn=（xn+yn）-（x+y）=（）-4
当n为奇数时，Sn=（xn+yn）-（x+y）=（）-4…16分
所以，Sn=…18分．