Question

如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：PC⊥CD；
（2）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；
（3）若PA=3，求三棱锥B-PCD的体积．

Answer

（1）要证明PC⊥CD，只需证明CD⊥平面PAC即可，即证明AC⊥CD，PA⊥CD；
（2）E是PA的中点，取AD的中点为F，连接BF，EF；要证明：BE∥平面PCD，只需证明平面BEF∥平面PCD即可．
（3）PA=3，求三棱锥B-PCD的体积，就是求P-BCD的体积，求出三角形BCD的面积，即可求解几何体的体积．
【解析】
（1）由已知易得，．（1分）
∵AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．（2分）
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．（3分）
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．（4分）
∵PC⊂平面PAC，
∴CD⊥PC．（5分）

（2）取AD的中点为F，连接BF，EF．
∵AD=2，BC=1，
∴BC∥FD，且BC=FD，
∴四边形BCDF是平行四边形，即BF∥CD．（6分）
∵BF⊄平面PCD，
∴BF∥平面PCD．（7分）
∵E，F分别是PA，AD的中点，
∴EF∥PD．
∵EF⊄平面PCD，
∴EF∥平面PCD．（9分）
∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PCD．（10分）
∵EF⊂平面BEF，
∴BE∥平面PCD．（11分）

（3）由已知得，（12分）
所以，．（14分）