Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC中点，E为CC₁中点，侧面BCC₁B₁为正方形．
（1）证明：A₁C∥平面AB₁D；
 （2）证明：BE⊥AB₁；
 （3）设∠BAC=θ，若，求的最大值．

Answer

（1）要证A1C∥平面AB1D，只需证明A1C∥OD即可；（2）要证BE⊥AB1，只要证BE⊥面AB1D，只要证BE垂直于平面中的两条相交直线；（3）因为AA1⊥面ABC，所以
从而，利用导数法可求．
证明：（1）连A1B交AB1于O，因为D为BC中点，所以A1C∥OD
又∵A1C⊄面AB1D，OD⊆面AB1D∴A1C∥平面AB1D
（2）因为BCC1B1为正方形，D为BC中点，E为CC1中点，
所以△B1BD≌△BCE，所以∠EBC=∠BB1D
又因为∠BB1D+∠BDB1=90，所以∠EBC+∠BDB1=90
所以BE⊥B1D
因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC
又因为面ABC⊥面BCC1B1，面ABC∩面BCC1B1=BC，AD⊆面ABC
所以AD⊥BCC1B1，所以AD⊥BE
又因为AD∩B1D=D，所以BE⊥面AB1D，所以BE⊥AB1
（3）因为AA1⊥面ABC，所以
在△ABC中，
所以令t=cosθ，f（t）=t3-t2-t+1，t∈（-1，1）
则f'（t）=3t2-2t-1，令f'（t）=0，得或t=1（舍去）
因为时，f'（t）＞0，时，f'（t）＜0
所以f（t）在递增，在递减，故，此时
所以当时，取最大值