Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，满足关系3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4…）．
（I）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，（n=2，3，4…）．求b_n；
（II）求T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）的值．

Answer

（1）由3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，可得3tsn+1-（2t+3）Sn =3t （n≥2），两式相减得3tan+1-（2t+3）an =0．化简变形可得 = （n≥1），故数列{an}为等比数列，
从而证得数列{bn}是以 b1=1为首项，以d=为公差的等差数列，从而求得 bn=n+．
（2）化简 Tn 为  b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）=2d （b2+b4+…+b2n）=2×[n•+]，运算求得结果．
【解析】
（1）证明：∵3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，∴3tsn+1-（2t+3）Sn =3t （n≥2），两式相减得3tan+1-（2t+3）an =0．
又t＞0，∴= （n≥2），又当n=2时，3ts2-（2t+3）s1=3t，
即3t （a1+a2）-（2t+3）a1=3t，得 a2=，即 =，∴= （n≥1），∴数列{an}为等比数列．
由已知得f（n）=，∴==bn-1+ （n≥2）．
∴数列{bn}是以 b1=1为首项，以d=为公差的等差数列，故 bn=n+．
（2）Tn=（b1b2-b2b3）+（b3b4-b4b5）+…+（b2n-1b2n-b2nb2n+1）=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）
=2d （b2+b4+…+b2n）=2×[n•+]=--．