Question

以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是     ．

Answer

设出椭圆的方程为 +=1，求出离心率的平方，将直线方程代入椭圆方程得得到的关于x的一元二次方程的判别式大于0，求出 b2 的最小值，此时的离心率最大，离心率最大的椭圆方程可得．
【解析】
由题意知，c=1，a2-b2=1，故可设椭圆的方程为 +=1，
离心率的平方为    ①，∵直线x-y+3=0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得
（2b2+1）x2+6（b2+1）x+8b2+9-b4=0，由△=36（b4+2b2+1）-4（2b2+1）（ 8b2+9-b4 ）≥0，
∴b4-3b2-4≥0，∴b2≥4，或 b2≤-1 （舍去），∴b2 的最小值为4，
∴①的最大值为 ，此时，a2=b2+1=5，
∴离心率最大的椭圆方程是 +=1，
故答案为：+=1．