Question

如图（一），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC，E为AD中点，沿CE折叠，使面DEC⊥面ABCE，在图（二）中．
（I）证明：AC⊥BD
（Ⅱ）求DE与面ACD所成角的余弦值．

Answer

（I）以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，令AB=a，用坐标表示点与向量，证明即可；
（Ⅱ）求出面ACD的法向量，计算cos，即可得到DE与面ACD所成角的余弦值．
（I）证明：如图所示，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，令AB=a，则E（0，0，0），C（a，0，0），A（0，a，0），D（0，0，a），B（a，a，0），
∴，
∵
∴，
∴AC⊥BD
（Ⅱ）设面ACD的法向量
∴，∴，∴
∴cos
∴DE与面ACD所成角的余弦值为