Question

已知直线l的参数方程为，若以直角坐标系xoy的原点O点为极点，以x轴正半轴为极轴，选取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于A、B两点．
（I）求直线l的倾斜角及l与坐标轴所围成的三角形的面积；
（II）求|AB|．

Answer

（I）根据直线l的参数方程用代入法消去参数t化为普通方程为 y=x+，根据直线的斜率求出倾斜角 α 的值．求得直线l与坐标轴的交点的坐标，即可求得 l与坐标轴所围成的三角形的面积．
（II）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，求出参数t的值，可得A、B两点的坐标，利用两点间的距离公式求得|AB|的值．
【解析】
（I）∵直线l的参数方程为，用代入法消去参数t化为普通方程为 y=x+．
设倾斜角等于α，则 0≤α＜π，tanα=，∴α=．
求得直线l与坐标轴的交点的坐标分别为A（-，0），B（0，），∴l与坐标轴所围成的三角形的面积S△OAB=×OA×OB=××=．
（II）∵曲线C的极坐标方程为=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，
即 x2+y2=x+y．
把代入可得t2+=（+ t），解得 t1=0，t2=．
∴A（0，），B（，+），故|AB|=．