Question

设函数f（x）=1-|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≥3x+l的解集；
（II）若不等式f（x）-mx≥0的解集非空，求m的取值范围．

Answer

（I）不等式f（x）≥3x+l，即|2x-3|+3x≤0，分别求得   和 的解集，取并集，即得所求．
（II）画出f（x）=1-|2x-3|和y=mx的图象，过原点的直线y=mx过点A时，m=．当过原点的直线y=mx与AC平行时，m=2，由此求得不等式f（x）-mx≥0的解集非空时，m的取值范围．
【解析】
（I）不等式即|2x-3|+3x≤0，
∴，或 ．
即  或 ，故不等式的解集为[x|x≤-3}．
（II）f（x）=1-|2x-3|=．由单调性可得f（x）的最大值点为A（，1），
过原点的直线y=mx过点A时，m=．当过原点的直线y=mx与AC平行时，m=2，
故当 ＜m≤2时，f（x）的图象和直线y=mx无交点．
故当不等式f（x）-mx≥0的解集非空时，m的取值范围为（-∞，]∪（2，+∞）．