Question

已知数列{a_n}中，（n∈N*）．
（1）证明数列{na_n}（n≥2）为等比数列；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据题意，可得a1+2a2+3a3+…+nan-1=，两者相减，整理可得，从而可得数列{an}为等比数列
（2）根据题意，求出n2an通项公式，利用错位相减可求数列的和
（1）证明：：（1）∵a1+2a2+3a3+…+nan=①，
∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=②
①-②得nan=
3nan=（n+1）an+1
即
∵a1=1，∴a2=1
∴
∴n≥2时，数列{nan}为等比数列
（2）由（1）可得nan=
∴
则当n=1时，T1=1
∴当n≥2时，
Tn=1+2[2×3+3×31+…+n×3n-2]
 3Tn=3+2[2×31+3×32+…+（n-1）•3n-2+n•3n-1]
相减得2Tn=2+2[n•3n-1-（2+3+32+23+…+3n-2）]=（2n-1）3n-1+1（n≥2）
Tn=（n≥2）
又T1=1，符合Tn的形式，
∴Tn=（2n-1）•3n+1（n∈N*）