Question

函数f（x）=x²（e^x-1+ax+b），已知x=-2和x=1为y=f′（x）的零点．
（1）求a和b的值；
（2）设g（x）=，证明：对∀x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．

Answer

（1）由f（x）=x2（ex-1+ax+b），知f′（x）=2x（ex-1+ax+b）+x2（ex-1+a），由x=-2和x=1为y=f′（x）的零点，解得a=-，b=-1．
（2）由（1）知f（x）=x2（ex-1-x-1），由g（x）=，知f（x）-g（x）=x2（ex-1-x-1）-（）=x2•ex-1-x3=x2（ex-1-x），由此能够证明对∀x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．
【解析】
（1）∵f（x）=x2（ex-1+ax+b），
∴f′（x）=2x（ex-1+ax+b）+x2（ex-1+a），
∵x=-2和x=1为y=f′（x）的零点，
∴，
解得a=-，b=-1．
（2）由（1）知f（x）=x2（ex-1-x-1），
∵g（x）=，
∴f（x）-g（x）=x2（ex-1-x-1）-（）
=x2•ex-1-x3=x2（ex-1-x），
设g（x）=ex-1-x
则g′（x）=ex-1-1，
当x＞1时，g′（x）＞0
g（x）增，g（x）＞g（1）=0
故x＞1时，ex-1＞x
0＜x≤1时，ex-1≥x，
x≤0时，ex-1＞0≥x
综上，总有ex-1≥x，
∵x2≥0，
∴对∀x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．