Question

已知函数f（x）=x⁴-2ax²，a∈R．
（1）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜x＜2a时，函数f（x）存在极小值，求a的取值范围．

Answer

（1）求导函数，当a≤0时，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；f'（x）＞0，可得单调递增区间；
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=0或x=±，再确定函数的单调性，利用函数f（x）存在极小值，即可确定a的取值范围．
【解析】
（1）由题设知f'（x）=4x3-4ax，
令 f'（x）=0，得4x（x2-a）=0，当a≤0时，得x=0，
x＜0时，f'（x）＜0；x＞0时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是（-∞，0）；单调递增区间是（0，+∞）．
（2）∵a＜x＜2a，∴a＞0．
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=0或x=±，
列表如下：

x （-∞，-） （-，0） （0，） （，+∞）
f'（x） - + - +
f（x） 递减 递增 递减 递增

得x=-或x=时，f（x）极小=f（±）=-a2．
取x=-，由条件得 a＜-＜2a，无解．
取x=，由条件得 a＜＜2a，解得＜a＜1．
综合上述：＜a＜1．