Question

已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：．

Answer

所以原不等式等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，将a+b=2代入，只需要证明ab≤1．再利用基本不等式可得 +≥a，+≥b，相加即可证得不等式成立．
证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a2（b+1）+b2（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1．
 等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a2+b2+ab=（a+b）2=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2，可得ab≤1成立，所以原不等式成立．    …（12分）
另证：因为a，b都是正实数，所以 +≥a，+≥b．   …（6分）
两式相加得 +++≥a+b，…（8分）
因为  a+b=2，所以 ．   …（12分）