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高中数学试题
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定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-a,且f(x)...
定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x
2
-alnx,g(x)=x-a
,且f(x)在x=1处取极值.
(Ⅰ)确定函数g(x)的单调性.
(Ⅱ)证明:当1<x<e
2
时,恒有
成立.
(Ⅰ)利用f(x)在x=1处取极值,求得a的值,从而可得g(x)=x-2,再求导函数,即可求得g(x)的单调区间;(Ⅱ) 当1<x<e2时,0<lnx<2,要证等价于x(2-lnx)<2+lnx,即,构造h(x)=,证明h(x)在区间(1,e2)上为增函数,从而当1<x<e2时,h(x)>h(1)=0,即,故问题得证. (Ⅰ)【解析】 函数f(x)=x2-alnx,则, ∵f(x)在x=1处取极值 ∴f′(1)=0 ∴2-a=0 ∴a=2.…(3分) ∴g(x)=x-2,∴. 由,可得x>1,由,可得0x<1,…(…(5分) 所以g(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.…(6分) (Ⅱ)证明:当1<x<e2时,0<lnx<2,要证等价于x(2-lnx)<2+lnx,即 设h(x)=,则h′(x)==.…(10分) ∴当1<x<e2时,h′(x)>0, 所以h(x)在区间(1,e2)上为增函数.…(12分) 从而当1<x<e2时,h(x)>h(1)=0,即,故 …(14分).
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考点分析:
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.
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2
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2
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2
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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