Question

已知半圆x²+y²=4（y≥0），动圆与此半圆相切且与x轴相切．
（1）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形．
（2）是否存在斜率为的直线l，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|AD=2|BC|．若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设出动圆圆心M的坐标，且过圆心作x轴的垂线MN，垂足为N，当两圆外切时，根据两圆外切时两圆心的距离等于两半径相加，可得|MO|等于|MN|+2，利用两点间的距离公式化简可得动圆的轨迹方程；当两圆内切时，根据两圆心之间的距离等于两半径相减可得，|MO|等于2-|MN|，利用两点间的距离公式可得动圆的轨迹方程，分别根据求出的轨迹方程在平面直角坐标系中画出相应的图象即可；
（2）根据已知直线的斜率设出直线的方程，联立所设直线与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据|AD=2|BC|，利用韦达定理化简即可求出点A和点D的横坐标，根据动圆方程轨迹方程可得曲线横坐标范围，可得这样的直线不存在．
【解析】
（1）设动圆圆心为M（x，y），做MN⊥x轴交x轴于N．
若两圆外切，|MO|=|MN|+2，
所以，
化简得x2=4（y+1）（y＞0）；
若两圆内切，|MO|=2-|MN|，
所以，
化简得x2=-4（y-1）（y＞0）
综上，动圆圆心的轨迹方程为x2=4（y+1）（y＞0）及x2=-4（y-1）（y＞0），
其图象是两条抛物线位于x轴上方的部分，作简图如图：

（2）设直线l存在其方程可设为，
依题意，它与曲线x2=4（y+1）（y＞0）交于A，D，
与曲线x2=-4（y-1）（y＞0）交于B，C
由与
得3x2-4x-12b-12=0及3x2+4x+12b-12=0，，
∴|xD-xA|=2|xB-xC|
即
解得，
将代入方程3x2-4x-12b-12=0
得
因为曲线x2=4（y+1）中横坐标范围为（-∞，-2）∪（2，+∞），
所以这样的直线不存在．