Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积．

Answer

（1）由已知结合二倍角公式可得4cos2B-8cosB+3=0，解方程可求cosB，结合0＜B＜π，可求B
（2）法一：把a+c=2b，代入cosB==可得a=c，结合（1）中的B可求
    法二：由正弦定理及a+c=2b，可得sinA+sinC=2sinB=2sin，即sinA+sin（-A）=，可求A，C，从而可求面积
【解析】
（1）∵2cos2B=8cosB-5，
∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0．
∴4cos2B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=或cosB=（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B=．…（6分）
（2）法一：∵a+c=2b．
∴cosB===
化简得a2+c2-2ac=0，解得a=c．
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于…（12分）
法二：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB=2sin=．
∴sinA+sin（-A）=，
∴sinA+sincosA-cossinA=．
化简得sinA+cosA=，∴sin（A+）=1．
∵0＜A＜π，∴A+=．
∴A=，C=，又∵a=2
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于．…（12分）