Question

已知函数f（x）=alnx+-（1+a）x（a∈R）．
（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知命题P：f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，若命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，求实数t的值．

Answer

（1）求导函数，利用导数的正负，确定函数f（x）的单调区间；
（2）利用分类讨论，求出命题P成立的充要条件，再根据命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，求实数t的值．
【解析】
求导函数，
（Ⅰ）当0＜a＜1时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间（a，1）…（6分）
（Ⅱ）由于，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的，
当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是，此时只要f（1）≥0即可，解得，
∴实数a的取值范围是．
∴P成立的充要条件为．
∵命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，
∴．…（13分）