Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，数列{b_n}是公差为d的等差数列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

Answer

（1）根据a1=a2=1，bn=nSn+（n+2）an，求出数列{bn}的前两项，即可求得数列的公差；
（2）先求数列{bn}的通项公式，进而再利用条件，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（3）先利用基本不等式，得出，进而相乘，即可证明．
【解析】
（1）∵a1=a2=1，bn=nSn+（n+2）an，
∴b1=S1+3a1，b2=2S2+4a2，
∴d=b2-b1=4
（2）∵数列{bn}是公差为4的等差数列，b1=4
∴bn=4n
∵bn=nSn+（n+2）an，
∴4n=nSn+（n+2）an，
∴①
当n≥2时，②
①-②：
∴
∴
∴=
∵a1=1，∴
（3）∵
∴
∴
∴③
∵n=1，
∴等号不成立
∴