Question

函数y=f（x）定义在R上，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x-1）是奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=log₃x，则方程f（x）+4=f（1）在区间（-2，10）内的所有实根之和为（ ）
A．22
B．24
C．26
D．28

Answer

由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，再由f（x-1）是奇函数说明函数图象关于点（-1，0）对称，因此可以证明出函数的周期为4．只要找出方程f（x）+4=f（1）在在区间（-2，2）内实根的情况，就不难找到f（x）+4=f（1）在区间（-2，10）内的所有实根之和了．
【解析】
根据题意，f（1）=log31=0，
因此方程f（x）+4=f（1）化简为f（x）=-4
当0＜x≤1时，f（x）=log3x=-4，可得
因为f（x）是偶函数，所以当-1≤x＜0时，f（x）=log3-（-x）=-4，
可得， 
∵f（x-1）是奇函数，图象关于点（-1，0）对称
∴当-2＜x≤-1时的函值域与当-1≤x＜0时函数值域互为相反数，f（x）≥0，方程f（x）=-4没有实根
再根据f（x）是偶函数，图象关于点y轴对称得，当-2＜x≤-1时的函值域与当1≤x＜2时函数值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4没有实根
因此函数在（-2，2）只有两个实数根
又∵f（2-x）=f（x-2）=f（-1+（x-1））=-f（-1-（x-1））=-f（-x）
∴f（2+x）=-f（x）⇒f（4+x）=-f（2+x）=f（x）
 函数的周期为4
因此可得在（2，6）只有两个实数根，在（6，10）只有两个实数根
因此可得六个实数根的和为=24
故选B