Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，n=1，2，…，其中a，b均为正整数，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于{a_n}，{b_n}，存在关系式a_m+1=b_n，试求b的值；
（Ⅲ）对于满足（Ⅱ）中关系式的a_m，试求a₁+a₂+…+a_m．

Answer

（I）由题设可求，an，bn，结合已知a1＜b1＜a2＜b2＜a3．可得a＜3，由a为正整数可求a
（II）由am+1=bn，a=2可求得，由b＞a=2且b为正整数 可求
（III）由（II）知，m=2n-1，an=3n-1，代入a1+a2+…+am=（3•1-1）+（3•2-1）+…（3•2n-1-1），利用分组求和，结合等差数列的求和公式可求
【解析】
（I）由题设知，an=a+（n-1）b，（1分）
由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b
∴b＜ab，a＞1（2分）
∴ab＜a+2b＜3b又∵b＞0
∴a＜3（3分）
∵a为正整数
∴a=2（4分）
（II）am+1=bn，可得a+（m-1）+1=b•an-1（5分）
∵a=2
∴3+（m-1）b=b•2n-1则（6分）
∵b＞a=2且b为正整数∴2n-1-（m-1）=1（7分）
∴b=3（8分）
（III）由（II）知，m=2n-1，an=3n-1
∴a1+a2+…+am=（3•1-1）+（3•2-1）+…（3•2n-1-1）（9分）
=
=（11分）
=3•22n-3+2n-2（12分）