Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer

（Ⅰ）根据点（Sn，an+1）在直线y=3x+1上，可得an+1=3Sn+1，再写一式，两式相减，结合a1=t，即可求得t=1时，a2=4a1，数列{an}是等比数列；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的结论下，求出，我们可以得到bn=log4an+1=n，，求和时利用分组求和，可以得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵点（Sn，an+1）在直线y=3x+1上
∴an+1=3Sn+1，①
an=3Sn-1+1，②（n＞1）…（2分）
①-②：an+1-an=3（Sn-Sn-1）=3an，
∴an+1=4an，n＞1…（4分）
∵a2=3S1+1=3a1+1=3t+1，a1=t，
∴3t+1=4t，∴t=1
∴当t=1时，a2=4a1，数列{an}是等比数列…（6分）
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的结论下，an+1=4an，
∴，…（8分）
∴bn=log4an+1=n，…（9分），…（10分）
∴
…（12分）