Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B-AE-C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；
（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．

Answer

（1）证明AE⊥BD，只需证明AE⊥平面BDM，利用△ABE与△ADE是等边三角形，即可证明；
（2）证明平面PEF⊥平面AECD，只需证明PN⊥平面AECD，只需证明BM⊥平面AECD即可；
（3）DE与平面ABC不垂直．假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，从而可证明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．
（1）证明：设AE中点为M，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM⊂平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD．
（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．
∵P是BC的中点，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．
又∵PN⊂平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．
（3）【解析】
DE与平面ABC不垂直．
证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM=B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE．
∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．
∴DE与平面ABC不垂直．