Question

奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（4-x）=0，且f（1）=8，则f（2010）+f（2011）+f（2012）的值为    ．

Answer

由奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（4-x）=0，知f（x）是周期为4的周期函数，且f（0）=0，f（2）=0．再由f（1）=8，能求出f（2010）+f（2011）+f（2012）的值．
【解析】
∵奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（4-x）=0，
∴f（x）=f（x-4），所以f（x）是周期为4的周期函数，且f（0）=0．
在f（x）+f（4-x）=0中，令x=2，得f（2）+f（2）=0，∴f（2）=0．
∵f（1）=8，∴f（3）=-1
∴f（2010）+f（2011）+f（2012）
=f（2）+f（3）+f（0）
=f（2）-f（1）+f（0）
=0-8+0
=-8．
故答案为：-8．