Question

选修4-1_：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，且CE=AB=AC，连接BD，交AC于点F．
（I ）证明：BD平分∠ABC；
（II）若AD=6，BD=8，求DF的长．

Answer

（Ⅰ）由CE=AC，知∠E=∠CAE，由AB=AC，知∠ABC=∠ACB．由∠DBC=∠CAE，知∠DBC=∠E=∠CAE．由能够证明BD平分∠ABC． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAE=∠DBC=∠ABD．由∠ADF=∠ADB，知△ADF∽△BDA，由此能求出DF的长．
【解析】
（Ⅰ）∵CE=AC，∴∠E=∠CAE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠DBC=∠CAE，∴∠DBC=∠E=∠CAE．
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠E+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAE=∠DBC=∠ABD．
又∵∠ADF=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，
∴，
∵AD=6，BD=8．
∴．