Question

已知圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，定直线l的方程为y=-1．动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线m的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M与另一点Q，记S为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积，求S的值．

Answer

（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），依题意知点C到（0，2）点的距离与到直线y=-2的距离相等，由抛物线的定义知，能求出动点的C的轨迹方程．
（Ⅱ）设点P的坐标为，则以P点为切点的斜率为，直线PQ的斜率为-，所以直线PQ的方程为，由此能求出轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积．
【解析】
（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），
依题意知点C到（0，2）点的距离与到直线y=-2的距离相等，
由抛物线的定义知，动点的C的轨迹方程为x2=8y．
（Ⅱ）设点P的坐标为，
则以P点为切点的斜率为，
∴直线PQ的斜率为-，
所以直线PQ的方程为，
由于该直线经过点A（0，6），所以有6-=-4，得．
∵点P在第一象限，所以x=4，点P坐标为（4，2），
直线PQ的方程为x+y-6=0，
联立．解得x=-12或4，
∴点Q坐标为（-12，18），
∴
=（-）|
=（-8+24-）-（-72-72+72）
=．