Question

设a与α分别为空间中的直线与平面，那么下列三个判断中（ ）
（1）过a必有唯一平面β与平面α垂直
（2）平面α内必存在直线b与直线a垂直
（3）若直线a上有两点到平面α的距离为1，则a∥α，
其中正确的个数为（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

Answer

根据面面垂直的判定定理，可举出反例得到（1）不正确；根据线面垂直的定义和性质，可得（2）是真命题；根据线面垂直的性质和平面的斜线在平面内射影的性质，可得（3）不正确．由此可得正确答案．
【解析】
对于（1），当直线a与平面α垂直时，经过a的任何一个平面都能与平面α垂直，
因此过a有无数个平面β与平面α垂直，故（1）不正确；
对于（2），分两种情况加以分析：
①当a⊥α时，平面α内任意直线b都与直线a垂直；
②当a与α不垂直时，设a在内的射影为a'，则在α内与a'垂直的直线b必定与直线a垂直．
综上所述，平面α内必存在直线b与直线a垂直，故（2）正确；
对于（3），若直线l在平面α外，其上两点A、B满足AB的中点O在平面α内，
则A、B到平面α的距离相等，可调整A、B位置使这个距离等于1，
此时直线a上有两点到平面α的距离为1，但直线a与平面α相交，故（3）不成立．
综上所述，正确命题只有（2）一个．
故选C