Question

设f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x+2）=-f（x），那么下列五个判断（ ）
（1）f（x）的一个周期为T=4
（2）f（x）的图象关于直线x=1对称
（3）f（2010）=0
（4）f（2011）=0
（5）f（2012）=0
其中正确的个数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

（1）由f（x）是奇函数，f（x+2）=-f（x），知f（x+4）=f（x），即周期为4；由f（x）是奇函数，f（x+2）=-f（x），知f（x+2）=f（-x），由此能求出结果；（3）由f（x）是奇函数，f（x+4）=f（x），知f（2010）=f（0）=0；（4）由f（x）是奇函数，f（x+4）=f（x），f（2011）=f（3）≠0．（5））f（x）是奇函数，f（x+4）=f（x），f（2012）=f（0）=0．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即周期为4，
故（1）正确．
（2）∵f（x）是奇函数，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+2）=f（-x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，
故（2）正确．
（3）∵f（x）是奇函数，f（x+4）=f（x），
∴f（2010）=f（0）=0，故（3）正确
（4）∵f（x）是奇函数，f（x+4）=f（x），
∴f（2011）=f（3）≠0，故（4）不成立．
（5）∵f（x）是奇函数，f（x+4）=f（x），
∴f（2012）=f（0）=0，故（5）正确．
故选C．