Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，侧面APD为等腰直角三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PC上不同于端点的一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥DE：
（Ⅱ）设AD=2BC=2，CD=，求三棱锥D-PBC的高．

Answer

（Ⅰ）证明PA⊥DE，只需证明PA⊥平面PDC，利用AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，可证DC⊥平面PAD，从而可得结论；
（Ⅱ）作PF⊥AD，F为垂足，则F为AD中点，且PF=1，连接BF，可得BC⊥面PFB，作FH⊥PB，垂足为H，由FH⊂面PFB，可得FH⊥BC，从而FH⊥面PBC，故FH的长度为F到面PBC的距离，即三棱锥D-PBC的高．
（Ⅰ）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴DC⊥平面PAD
∵PA⊂平面PAD，∴DC⊥PA
∵PA⊥PD，PD∩DC=D，∴PA⊥平面PDC
∵DE⊂平面PDC，∴PA⊥DE；
（Ⅱ）作PF⊥AD，F为垂足，则F为AD中点，且PF=1，连接BF
∵PF⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PF⊥底面ABCD，∴PF⊥BF
∵BC∥FD，BC=FD，∴四边形BCDF是平行四边形
∵BF=CD=，∴PB=2
∵BF∥CD，AD⊥CD，∴AD⊥BF
∵AD⊥PF，BF∩PF=F
∴AD⊥面PFB，∴BC⊥面PFB
作FH⊥PB，垂足为H，由FH⊂面PFB，可得FH⊥BC
∴FH⊥面PBC，∴FH的长度为F到面PBC的距离
∵FD∥BC，BC⊂面PBC，FD⊄面PBC
∴FD∥面PBC
设棱锥D-PBC的高为h，∴h=FH
由PF•FB=PB•FH，得FH=
∴三棱锥D-PBC的高为