Question

已知点P为抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是    ．

Answer

先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点，由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，故|PM|+|PA|
=|PF|+|PA|-，由|PF|+|PA|≥|FA|可得所求的最小值为|FA|-．利用两点间的距离公式求得|FA|，即可得到|最小值|FA|-的值．
【解析】
【解析】
依题意可知焦点F（ ，0），准线 x=-，延长PM交准线于H点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，
∴|PM|=|PH|-=|PF|-．
∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，
当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5．
则所求为|PM|+|PA|=5-=．
故答案为：．