Question

如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，∠BCG=30°．
（1）求证：EG⊥平面ABCD
（2）若M，N分别是EB，CD的中点，求证MN∥平面EAD．
（3）若AD=，求三棱锥F-EGC的体积．

Answer

（1））△ADE是正三角形，G是AD的中点，可证EG⊥AD，平面ADE⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理可得EG⊥平面ABCD；
（2）取AE中点H，连接DH，可证四边形MHDN为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证得MN∥平面EAD；
（3）将求VF-EGC转化为求VC-EGF即可．
证明：（1）∵△ADE是正三角形，
∴EG⊥AD，又平面ADE⊥平面ABCD，且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD．   …（4分）
（2）取AE中点H，连接DH，
∵MH=AB，MH∥AB，即MH∥DN，MH=DN，
∴四边形MHDN为平行四边形，
∴MN∥DH，又MN⊄平面EAD，DH⊂平面ADE，
∴MN∥平面EAD．…（8分）
（3）由（1）知EG⊥平面ABCD，即底面CGF的高为EG，且GE=，
又在直角三角形EGC中，由GE=，得CG=，
∴DC=2．
∴S△CGF=2×-××2-××
=，
∴VF-EGC=VC-EGF
=××
= …（12分）