Question

已知直线x+y=1过抛物线y²=2px的焦点F．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A，B两点若在x轴上存在一点E（x，0），使得△ABE是等边三角形，求x的值．

Answer

（1）利用直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F，可得F（1，0），故可求抛物线C的方程；
（2）设直线l；y=k（x+1）（k≠0）代入y2=4x（x＞0）得k2x2+2（k2-2）x+k2=0，确定线段AB的垂直平分线方程为，令y=0，得，利用△ABE是等边三角形，即可求得结论．
【解析】
（1）直线x+y=1与x轴交于（1，0）
∵直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F
∴抛物线的焦点为F（1，0），故p=2
∴抛物线C的方程为y2=4x．
（2）设直线l：y=k（x+1）（k≠0）代入y2=4x（x＞0），消元可得k2x2+2（k2-2）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=1，
∴AB的中点为，
∴线段AB的垂直平分线方程为，
令y=0，得
∵△ABE是等边三角形，∴点E到直线l的距离为，
∵点E到直线l的距离为，，
∴
∴
∴．