Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C、BB₁A₁A为全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥侧面BB₁C₁C，D为棱C₁C上异于C、C₁的一点，且DB⊥DA₁．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB₁-A₁的余弦值．

Answer

（1）依题意，可知BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，则，由向量法能够证明B1D⊥平面ABD．
（2）由题意A1B1⊥B1D，又，故，B1D⊥AD，设二面角A-DB1-A1的大小为θ，由向量法能够求出二面角A-DB1-A1的大小的余弦值．
（1）证明：依题意，可知BA，BC，BB1两两垂直，
以B为坐标原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B1（0，2，0），A1（0，2，1），C1（1，2，0）
设D（1，y，0），则，
∵DB⊥DA1，
从而，
∴，
∴B1D⊥BD，B1D⊥BA，
∴B1D⊥平面ABD；
（2）【解析】
由题意A1B1⊥B1D，
又，
∴，
∴B1D⊥AD，
设二面角A-DB1-A1的大小为θ
则，
即二面角A-DB1-A1的大小的余弦值为．