Question

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A（1，1），过A作抛物  线的切线交x轴于B₁，过B₁点作x轴的垂线交抛物线于A₁，过A₁作抛物线的切线交x轴于B₂，…，过A_n（x_n，y_n）作抛物线的切线交x轴于B_n+1（x_n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式；
（2）设a_n=+，数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-．
（3）设b_n=1-log₂y_n，若对任意正整数n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正数a的取值范围．

Answer

（1）由已知得抛物线方程为y=x2，y′=2x，设过点An（xn，yn）的切线为y-xn2=2xn（x-xn），令y=0和x=0，即可求出{xn}，{yn}的通项公式．
（2）由（1）知xn=，代入可得an=+=+=2-（-），从而Tn=a1+a2+a3+…+an＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，于是结论即可证得．
（3）由于yn=，可得bn=2n+1，则可得不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，分离系数a，可得a≤（1+）（1+）…（1+），然后令f（n）=（1+）（1+）…（1+），根据函数的单调性解决a的取值范围．
【解析】
（1）由已知得抛物线方程为y=x2，y′=2x，
则设过点An（xn，yn）的切线为y-xn2=2xn（x-xn），
令y=0，x=，故xn-1=，
又x=1，∴xn=，yn=，
（2）证明：由（1）知xn=，
所以an=+=+=2-（-），
由于＜，＞，
得-＜-，
∴an=2-（-）＞2-（-），
从而Tn=a1+a2+a3+…+an＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，
即Tn＞2n-，
（3）由于yn=，故bn=2n+1，
对于任意正整数n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，
a≤（1+）（1+）…（1+）恒成立，
设f（n）=（1+）（1+）…（1+），
∴f（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+），
=•（1+）=•==＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）为递增，
∴f（n）min=f（1）=•=，
∴0＜a≤．