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满分5
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高中数学试题
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已知. (I)求函数f(x)的最小值; ( II)当x>2a,证明:.
已知
.
(I)求函数f(x)的最小值;
( II)当x>2a,证明:
.
(Ⅰ)由f′(x)=x-=,知当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.由此能求出函数f(x)的最小值. (Ⅱ)由(Ⅰ),知f(x)在(2a,+∞)单调递增,则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0,由此能够证明>a. 【解析】 (Ⅰ)f′(x)=x-=.…(1分) 当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 当x=a时,f(x)取得极小值也是最小值f(a)=a2-a2lna.…(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ),f(x)在(2a,+∞)单调递增, 则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0.…(7分) 设g(x)=f(x)-f(2a)-a(x-2a), 则当x>2a时, g′(x)=f′(x)-a=x--a=>0,…(9分) 所以g(x)在[2a,+∞)上单调递增, 当x>2a时,g(x)>g(2a)=0,即f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0, 故>a.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
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