Question

对于n∈N^*，将n表示为n=+…+，当i=k时，a_i=1，当0≤i≤k-1时，a_i为0或1．定义b_n如下：在n的上述表示中，当a，a₁，a₂，…，a_k中等于1的个数为奇数时，b_n=1；否则b_n=0．
（1）b₂+b₄+b₆+b₈=    ；
（2）记c_m为数列{b_n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c_m的最大值是    ．

Answer

（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；
（2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak-1…a1a）2，则akak-1…a1a中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a=000时，cm=2；当a2a1a=001时，cm=0；当a2a1a=010时，cm=1；当a2a1a=011时，cm=0；当a2a1a=100时，cm=2；当a2a1a=101时，cm=0；当a=0，前面有奇数个1时，cm=1； 当a=0，前面有偶数个1时，cm=2；当末位有奇数个1时，cm=1；当末位有偶数个1时，cm=0，由此可得cm的最大值．
【解析】
（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1
∴b2+b4+b6+b8=3
（2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak-1…a1a）2，则akak-1…a1a中1的个数为偶数，当a2a1a=000时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；
当a2a1a=001时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a=010时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当a2a1a=011时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a=100时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当a2a1a=101时，bi+1=0，cm=0；当a=0，前面有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1； 当a=0，前面有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当末位有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当末位有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=0；故cm的最大值为2．