Question

已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，证明：存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）=K恒成立．

Answer

（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a-alna，令g（t）=t-tlnt，对其求导可得g′（t）=-lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a-alna≥1成立，即可得答案；
（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=-a，令φ（x）=f′（x）-k=ex-，可以求出φ（x1）与φ（x2）的值，令F（t）=et-t-1，求导可得F′（t）=et-1，
分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et-t-1＞0，进而讨论可得φ（x1）＜0、φ（x2）＞0，结合函数的连续性分析可得答案．
【解析】
（1）f′（x）=ex-a，
令f′（x）=0，解可得x=lna；
当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a-alna，
对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a-alna≥1，①
令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，
因此当且仅当a=1时，①式成立，
综上所述，a的取值的集合为{1}．
（2）根据题意，k==-a，
令φ（x）=f′（x）-k=ex-，
则φ（x1）=-[-（x2-x1）-1]，
φ（x2）=[-（x1-x2）-1]，
令F（t）=et-t-1，则F′（t）=et-1，
当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增，
则F（t）的最小值为F（0）=0，
故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et-t-1＞0，
从而-（x2-x1）-1＞0，且＞0，则φ（x1）＜0，
-（x1-x2）-1＞0，＞0，则φ（x2）＞0，
因为函数y=φ（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x∈（x1，x2），使φ（x）=0，
即f′（x）=K成立．