Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线CC₁和AB的距离；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD，进而求出C的长即可；
（Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A1DB1为所求的二面角A1-CD-B1的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A1DB1中求出结论即可；
解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
因为AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB，
又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，
所以异面直线CC1和AB的距离为：CD==．
（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥平面A1ABB1，
从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1-CD-B1的平面角．
因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，
又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，
从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，
因此∠A1AB1=∠∠A1DA，
所以RT△A1AD∽RT△B1A1A，
因此=，得=AD•A1B1=8，
从而A1D==2，B1D=A1D=2．
所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==．
解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，
由第一问知：DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系D-XYZ．．
设直三棱柱的高为h，则A（-2，0，0），A1（-2，0，h）．B1（2，0，h）．C（0，，0）
从而=（4，0，h），=（2，，-h）．
由AB1⊥A1C得•=0，即8-h2=0，因此h=2，
故=（-1，0，2），=（2，0，2），=（0，，0）．
设平面A1CD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，即取z=1，得=（，0，1），
设平面B1CD的法向量为=（a，b，c），则⊥，，即取c=-1得=（，0，-1），
所以cos＜，＞===．
所以二面角的平面角的余弦值为．