Question

某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂．
（1）证明：直线B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

Answer

（1）依题意易证AC⊥B1D1，AA2⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC2A2；
（2）需计算上面四棱柱ABCD-A2B2C2D2的表面积（除去下底面的面积）S1，四棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积（除去下底面的面积）S2即可．
【解析】
（1）∵四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，
∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又AB∩AD=A，
∴AA2⊥平面ABCD．连接BD，
∵BD⊂平面ABCD，
∴AA2⊥BD，又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面，
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1，
∴B1D1∥BD，于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又AA2∩AC=A，
∴B1D1⊥平面ACC2A2；
（2）∵四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
∴S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面
=+4AB•AA2
=102+4×10×30
=1300（cm2）
又∵四棱台A1B1C1D1-ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
∴S2=S四棱柱下底面+S四棱台侧面
=+4×（AB+A1B1）•h等腰梯形的高
=202+4×（10+20）•
=1120（cm2），
于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420（cm2），
故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．