Question

设函数f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1．
（I）求a，b的值；
（II）求函数f（x）的最大值
（III）证明：f（x）＜．

Answer

（I）由题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值；
（II）由于f（x）=xn（1-x），可求f′（x）=（n+1）xn-1（-x），利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最大值；
（III）结合（II），欲证f（x）＜．由于函数f（x）的最大值f（）=（）n（1-）=，故此不等式证明问题可转化为证明＜，对此不等式两边求以e为底的对数发现，可构造函数φ（t）=lnt-1+，借助函数的最值辅助证明不等式．
【解析】
（I）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0．
因为f′（x）=anxn-1-a（n+1）xn，所以f′（1）=-a．
又因为切线x+y=1的斜率为-1，所以-a=-1，即a=1，故a=1，b=0．
（II）由（I）知，f（x）=xn（1-x），则有f′（x）=（n+1）xn-1（-x），令f′（x）=0，解得x=
在（0，）上，导数为正，故函数f（x）是增函数；在（，+∞）上导数为负，故函数f（x）是减函数；
故函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（）=（）n（1-）=，
（III）令φ（t）=lnt-1+，则φ′（t）=-=（t＞0）
在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）单调减；在（1，+∞），φ′（t）＞0，故φ（t）单调增；
故φ（t）在（0，∞）上的最小值为φ（1）=0，
所以φ（t）＞0（t＞1）
则lnt＞1-，（t＞1），
令t=1+，得ln（1+）＞，即ln（1+）n+1＞lne
所以（1+）n+1＞e，即＜
由（II）知，f（x）≤＜，
故所证不等式成立．