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若函数h(x)满足 ①h(0)=1,h(1)=0; ②对任意a∈[0,1],有h...

若函数h(x)满足
①h(0)=1,h(1)=0;
②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;
③在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=manfen5.com 满分网(λ>-1,p>0)
(1)判函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;
(2)若存在m∈[0,1],使得h(m)=m,若m是函数h(x)的中介元,记p=manfen5.com 满分网(n∈N+)时h(x)的中介元为xn,且Sn=manfen5.com 满分网,若对任意的n∈N+,都有Snmanfen5.com 满分网,求λ的取值范围;
(3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图象总在直线y=1-x的上方,求P的取值范围.
(1)可通过对函数h(x)=(λ>-1,p>0)进行研究,探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数; (2)由题意,先根据中介元的定义得出中介元xn通式,代入Sn=,计算出和,然后结合极限的思想,利用Sn<得到参数的不等式,解出它的取值范围; (3)λ=0,x∈(0,1)时,对参数p分灰讨论由函数y=h(x)的图象总在直线y=1-x的上方这一位置关系进行转化,解出p的取值范围. 【解析】 (1)函数h(x)是补函数,证明如下: ①h(0)==1,h(1)==0; ②任意a∈[0,1],有h(h(a))=h()==a ③令g(x)=(h(x))p,有g′(x)==,因为λ>1,p>0, 所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)上是减函数,故h(x)在(0,1)上是减函数 由上证,函数h(x)是补函数 (2)当p=(n∈N*),由h(x)=x得, (i)当λ=0时,中介元xn=, (ii)当λ>-1且λ≠0时,由(*)得=∈(0,1)或=∉(0,1),得中介元xn=, 综合(i)(ii):对任意的λ>-1,中介元为xn=, 于是当λ>-1时,有Sn===, 当n无限增大时,无限接近于0,Sn无限接近于, 故对任意的非零自然数n,Sn<等价于,即λ∈[3,+∞) (3)当λ=0时,h(x)=,中介元为. (i)0<p≤1时,,中介元为≤,所以点(xp,h(xp))不在直线y=1-x的上方,不符合条件; (ii)当p>1时,依题意只需>1-x在x∈(0,1)时恒成立,也即xp+(1-x)p<1在x∈(0,1)时恒成立 设φ(x)=xp+(1-x)p,x∈(0,1),则φ′(x)=p(xp-1-(1-x)p-1) 令φ′(x)=0,得x=,且当x∈(0,)时,φ′(x)<0,当x∈(,1)时,φ′(x)>0,又φ(0)=φ(1)=1,所以x∈(0,1)时,φ(x)<1恒成立. 综上,p的取值范围是(1,+∞)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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