Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．
（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

Answer

（1）由于对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）-A（n）=C（n）-B（n），即an+1-a1=an+2-a2，整理即可得数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得an．
（2）必要性：由数列{an}是公比为q的等比数列，可证得即==q，即必要性成立；
充分性：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得an+2-qan+1=a2-qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0，即充分性成立，于是结论得证．
【解析】
（1）∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，
∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即an+1-a1=an+2-a2，亦即an+2-an+1=a2-a1=4．
故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是
===q，
===q，
即==q，
∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；
（充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，即an+2-a2=q（an+1-a1），亦即an+2-qan+1=a2-qa1．
由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
∵an＞0，
∴==q．故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．